EP07_02 — 🟡 Normalisation Z-score et Robustesse du k-NN à des Échelles Distinctes

7.18.2.1 📋 Directives d’Implémentation

1. Quantité et paramètre : Lire l’entier \(N\) (nombre d’exemples d’entraînement) et l’entier impair \(k\).
2. Exemples d’entraînement : Pour chacun des \(N\) exemples, lire trois valeurs : la superficie \(x_1\) (réelle), la circularité \(x_2\) (réelle) et l’étiquette \(r\) (entier, \(0\) ou \(1\)).
3. Requêtes : Lire l’entier \(Q\) puis les coordonnées \(x_1, x_2\) de chaque requête.
4. Classification sans normalisation : Pour chaque requête, classifiez-la par k-NN directement sur \((x_1, x_2)\), avec la distance euclidienne et les mêmes règles de départage que l’EP07_01 (ordre de lecture pour les distances à égalité ; voisin le plus proche entre les classes à égalité lors du vote).
5. Paramètres de normalisation : Calculer la moyenne \(\mu_j\) et l’écart-type populationnel \(\sigma_j\) (division par \(N\), non par \(N-1\) — la même convention adoptée par la classe StandardScaler) de chaque caractéristique \(j \in \{1,2\}\), exclusivement sur l’ensemble d’entraînement.
6. Standardisation : Transformez chaque caractéristique d’entraînement et de requête par \[ z_j = \frac{x_j - \mu_j}{\sigma_j}. \] Si \(\sigma_j = 0\) (caractéristique constante dans l’entraînement), définissez \(z_j = 0\) pour tous les échantillons de cette caractéristique, évitant ainsi la division par zéro.
7. Classification avec normalisation : Répétez la classification k-NN du point 4, désormais sur les vecteurs standardisés \((z_1, z_2)\), avec les mêmes règles de départage.
8. Sortie : Pour chaque requête, dans l’ordre d’entrée, imprimer les deux classes prédites. À la fin, imprimer le nombre de requêtes où les deux classifications divergent.

7.18.2.2 📌 Contraintes Computationnelles

• Ajustement uniquement sur l’entraînement : \(\mu_j\) et \(\sigma_j\) sont calculés uniquement à partir de l’ensemble d’entraînement et réappliqués aux requêtes — jamais recalculés à partir de celles-ci. Cette pratique évite la fuite de données (data leakage), mentionnée dans la section sur la normalisation du chapitre.
• Écart-type populationnel : utilisez \(\sigma_j = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_i (x_{i,j}-\mu_j)^2}\), et non la version échantillonnale (division par \(N-1\)).
• Caractéristique constante : traitez \(\sigma_j = 0\) comme un cas spécial (point 6) ; aucune erreur de division par zéro ne doit survenir.
• Règles de départage : réutilisez exactement les conventions de l’EP07_01, tant pour la sélection des \(k\) voisins que pour le vote majoritaire.

7.18.2.3 🧠 Fondements Théoriques

Cet exercice renforce, de manière contrôlée, la raison pour laquelle le StandardScaler est appliqué avant le k-NN tout au long du chapitre : sans cette étape, les caractéristiques de circularité — même étant hautement discriminatives — peuvent être pratiquement ignorées par le classificateur face à une caractéristique de superficie avec une amplitude des centaines de fois plus grande.

7.18.2.4 📦 Spécification d’Entrée et de Sortie (VPL)

Entrée :

• Ligne 1 : Entiers \(N\) et \(k\), séparés par un espace.
• Les \(N\) lignes suivantes : trois valeurs par ligne — \(x_1\), \(x_2\) (réelles) et \(r\) (entier \(\in \{0,1\}\)), séparées par un espace.
• Ligne suivante : entier \(Q\).
• Les \(Q\) lignes suivantes : deux valeurs par ligne — \(x_1\), \(x_2\) (réelles) de la requête, séparées par un espace.

Sortie :

• \(Q\) lignes, au format SemNorm=<0|1> ComNorm=<0|1>, dans l’ordre d’entrée des requêtes.
• Dernière ligne : Divergiu: <int>.

7.18.2.5 📌 Exemples

%%writefile EP07_02.py
# Code Python

Overwriting EP07_02.py

TestSuite("EP07_02.py").run()

✔️ EP07_02.cases existe déjà dans casos/
📋 5 cas chargé(s) depuis casos/EP07_02.cases

🔍 Test de Python : EP07_02.py
⚠️ EP07_02.py : fichier vide (moins de 3 lignes). Tests ignorés.