EP07_05 — 🔴 Histogramme des orientations d’une cellule HOG

7.18.5.1 📋 Directives d’implémentation

1. Dimensions : Lire les entiers \(n\) (la cellule a \(n \times n\) pixels) et \(B\) (nombre de compartiments de l’histogramme).
2. Magnitudes : Lire \(n\) lignes avec chacune \(n\) valeurs réelles, représentant \(|\nabla f(x,y)|\) pour chaque pixel de la cellule.
3. Orientations : Lire encore \(n\) lignes avec chacune \(n\) valeurs réelles, représentant \(\theta(x,y)\) en degrés, déjà converties dans l’intervalle non signé \([0^\circ, 180^\circ)\), comme conventionnellement utilisé par le HOG.
4. Compartiments : Les \(B\) compartiments couvrent \([0^\circ, 180^\circ)\) en bandes égales de largeur \(180/B\) degrés. Un pixel avec une orientation \(\theta\) appartient au compartiment \(\lfloor \theta / (180/B) \rfloor\) ; si cet indice est égal à \(B\) (possible uniquement lorsque \(\theta\) est exactement \(180^\circ\), ce qui ne devrait pas se produire selon la directive du point 3), utilisez le compartiment \(B-1\).
5. Histogramme brut : Pour chaque pixel, accumulez sa magnitude (et non son compte) dans le compartiment correspondant : \[ H[b] = \sum_{(x,y)\, :\, \text{bin}(\theta(x,y)) = b} |\nabla f(x,y)|. \]
6. Normalisation L2 : Après avoir construit \(H\), normalisez-le pour obtenir \(\hat H\) : \[ \hat H[b] = \frac{H[b]}{\sqrt{\sum_{j=0}^{B-1} H[j]^2 + \epsilon}}, \qquad \epsilon = 10^{-6}. \]
7. Sortie : Imprimez l’histogramme brut \(H\) (arrondi à 2 décimales) sur une ligne, suivi de l’histogramme normalisé \(\hat H\) (arrondi à 4 décimales) sur une autre ligne, tous deux avec les \(B\) valeurs séparées par des espaces, dans l’ordre des compartiments.

7.18.5.2 📌 Contraintes computationnelles

• Binning non signé : l’intervalle des orientations est \([0,180)\), pas \([0,360)\) — les gradients dans des directions opposées (différence de \(180^\circ\)) contribuent au même compartiment, convention standard du HOG pour la détection d’objets.
• Accumulation par magnitude, pas par compte : l’histogramme pondère chaque pixel par sa magnitude de gradient, il ne compte pas simplement combien de pixels tombent dans chaque compartiment.
• Constante de stabilisation : le \(\epsilon = 10^{-6}\) dans le dénominateur de la normalisation évite la division par zéro lorsque la cellule est complètement homogène (toutes les magnitudes nulles).

7.18.5.3 📐 D’où proviennent les matrices d’entrée

Avant cet EP, chaque pixel \((x,y)\) de l’image passe par :

\[ G_x = f(x+1,y)-f(x-1,y), \qquad G_y = f(x,y+1)-f(x,y-1) \]

\[ |\nabla f| = \sqrt{G_x^2+G_y^2}, \qquad \theta_{\text{signé}} = \operatorname{atan2}(G_y,G_x) \]

Comme le HOG ignore la polarité du contraste, l’angle est replié dans l’intervalle non signé :

\[ \theta = \theta_{\text{signé}} \bmod 180° \]

En répétant cela pour tous les pixels d’une cellule \(n\times n\), on obtient les deux matrices d’entrée de cet exercice : les magnitudes \(|\nabla f|\) et les orientations \(\theta \in [0°,180°)\).

7.18.5.4 🧠 Fondement théorique

La concaténation des histogrammes normalisés de toutes les cellules de l’image — non implémentée dans cet exercice — forme le vecteur de caractéristiques HOG complet, utilisé comme entrée du classifieur k-NN dans le projet du chapitre.

7.18.5.5 📦 Spécification d’entrée et de sortie (VPL)

Entrée :

• Ligne 1 : entiers \(n\) et \(B\).
• Les \(n\) lignes suivantes : \(n\) magnitudes réelles chacune.
• Les \(n\) lignes suivantes : \(n\) orientations réelles (degrés, \([0,180)\)) chacune.

Sortie :

• Ligne 1 : les \(B\) valeurs de l’histogramme brut, arrondies à 2 décimales.
• Ligne 2 : les \(B\) valeurs de l’histogramme normalisé, arrondies à 4 décimales.

7.18.5.6 📌 Exemples

%%writefile EP07_05.py
# Code Python

Overwriting EP07_05.py

TestSuite("EP07_05.py").run()

✔️ EP07_05.cases existe déjà dans casos/
📋 5 cas chargé(s) depuis casos/EP07_05.cases

🔍 Test de Python : EP07_05.py
⚠️ EP07_05.py : fichier vide (moins de 3 lignes). Tests ignorés.